Filtro de ruído médio móvel

O Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 15: Filtros médios móveis Redução de ruído versus resposta por etapas Muitos cientistas e engenheiros se sentem culpados por usar o filtro de média móvel. Por ser tão simples, o filtro de média móvel geralmente é o primeiro a ser tentado quando confrontado com um problema. Mesmo que o problema esteja completamente resolvido, ainda há a sensação de que algo mais deve ser feito. Esta situação é realmente irônica. Não é apenas o filtro de média móvel muito bom para muitas aplicações, é ideal para um problema comum, reduzindo o ruído branco aleatório enquanto mantém a resposta de passo mais acentuada. A Figura 15-1 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal em (a) é um pulso enterrado em barulho aleatório. Em (b) e (c), a ação de suavização do filtro médio móvel diminui a amplitude do ruído aleatório (bom), mas também reduz a nitidez das bordas (ruim). De todos os filtros lineares possíveis que poderiam ser usados, a média móvel produz o menor ruído para uma nitidez da borda dada. A quantidade de redução de ruído é igual à raiz quadrada do número de pontos na média. Por exemplo, um filtro de média móvel de 100 pontos reduz o ruído por um fator de 10. Para entender por que a média móvel se a melhor solução, imagine que queremos projetar um filtro com uma nitidez de borda fixa. Por exemplo, vamos assumir que nós corrigimos a nitidez da borda, especificando que há onze pontos no aumento da resposta do passo. Isso exige que o kernel do filtro tenha onze pontos. A questão de otimização é: como escolhemos os onze valores no kernel de filtro para minimizar o ruído no sinal de saída Uma vez que o ruído que estamos tentando reduzir é aleatório, nenhum dos pontos de entrada é especial, cada um é tão barulhento quanto o vizinho . Portanto, é inútil dar tratamento preferencial a qualquer um dos pontos de entrada atribuindo-lhe um coeficiente maior no kernel de filtro. O menor ruído é obtido quando todas as amostras de entrada são tratadas igualmente, isto é, o filtro médio móvel. (Mais adiante neste capítulo, mostramos que outros filtros são essencialmente tão bons. O ponto é, nenhum filtro é melhor que a média móvel simples). A média móvel como um filtro A média móvel é freqüentemente usada para suavizar dados na presença de ruído . A média móvel simples nem sempre é reconhecida como o filtro de Resposta de Impulso Finito (FIR) que é, enquanto na verdade é um dos filtros mais comuns no processamento de sinal. Tratá-lo como um filtro, permitindo compará-lo com, por exemplo, filtros com janelas-sinc (veja os artigos sobre os filtros passa-baixa, passagem alta e banda passada e banda-rejeição para exemplos desses). A principal diferença com esses filtros é que a média móvel é adequada para sinais para os quais a informação útil está contida no domínio do tempo. Dos quais suavizar medições por meio da média é um excelente exemplo. Os filtros Windowed-sinc, por outro lado, são performantes no domínio da frequência. Com equalização no processamento de áudio como um exemplo típico. Existe uma comparação mais detalhada de ambos os tipos de filtros no Time Domain vs. Frequency Domain Performance of Filters. Se você tem dados para os quais tanto o tempo como o domínio de freqüência são importantes, então você pode querer dar uma olhada em Variações na Média Móvel. Que apresenta uma série de versões ponderadas da média móvel que são melhores nisso. A média móvel do comprimento (N) pode ser definida como escrita como normalmente é implementada, com a amostra de saída atual como a média das amostras anteriores (N). Visto como um filtro, a média móvel realiza uma convolução da sequência de entrada (xn) com um impulso retangular de comprimento (N) e altura (1N) (para tornar a área do pulso e, portanto, o ganho do filtro , 1 ). Na prática, é melhor tomar (N) ímpar. Embora uma média móvel também possa ser calculada usando um número par de amostras, usando um valor ímpar para (N) tem a vantagem de que o atraso do filtro será um número inteiro de amostras, uma vez que o atraso de um filtro com (N) As amostras são exatamente ((N-1) 2). A média móvel pode então ser alinhada exatamente com os dados originais, deslocando-a por um número inteiro de amostras. Domínio do tempo Uma vez que a média móvel é uma convolução com um pulso retangular, sua resposta de freqüência é uma função sinc. Isso torna algo parecido com o dual do filtro windowed-sinc, uma vez que é uma convolução com um pulso sinc que resulta em uma resposta de freqüência retangular. Essa é essa resposta de freqüência de voz que torna a média móvel um desempenho pobre no domínio da freqüência. No entanto, ele funciona muito bem no domínio do tempo. Portanto, é perfeito suavizar os dados para remover o ruído e, ao mesmo tempo, manter uma resposta de passo rápido (Figura 1). Para o típico Black Gaussian Noise (AWGN) que é frequentemente assumido, as amostras de média (N) têm o efeito de aumentar o SNR por um fator de (sqrt N). Uma vez que o ruído para as amostras individuais não está correlacionado, não há motivo para tratar cada amostra de forma diferente. Assim, a média móvel, que dá a cada amostra o mesmo peso, eliminará a quantidade máxima de ruído para uma nitidez de resposta de passo dada. Implementação Por ser um filtro FIR, a média móvel pode ser implementada através da convolução. Em seguida, terá a mesma eficiência (ou falta dela) como qualquer outro filtro FIR. No entanto, também pode ser implementado de forma recursiva, de uma maneira muito eficiente. Ele segue diretamente da definição de que esta fórmula é o resultado das expressões para (yn) e (yn1), ou seja, onde percebemos que a mudança entre (yn1) e (yn) é que um termo extra (xn1N) aparece em O fim, enquanto o termo (xn-N1N) é removido desde o início. Em aplicações práticas, muitas vezes é possível excluir a divisão por (N) para cada termo, compensando o ganho resultante de (N) em outro local. Esta implementação recursiva será muito mais rápida do que a convolução. Cada novo valor de (y) pode ser calculado com apenas duas adições, em vez das adições (N) que seriam necessárias para uma implementação direta da definição. Uma coisa a procurar com uma implementação recursiva é que os erros de arredondamento se acumulam. Isso pode ou não ser um problema para a sua aplicação, mas também implica que esta implementação recursiva funcionará melhor com uma implementação inteira do que com números de ponto flutuante. Isso é bastante incomum, uma vez que uma implementação em ponto flutuante geralmente é mais simples. A conclusão de tudo isso deve ser que você nunca deve subestimar a utilidade do filtro de média móvel simples em aplicações de processamento de sinal. Ferramenta de design de filtro Este artigo é complementado com uma ferramenta de design de filtro. Experimente valores diferentes para (N) e visualize os filtros resultantes. Experimente agora Um olhar mais detalhado sobre o Algoritmo médio avançado de CODAS A média móvel versátil no algoritmo CODAS avançado filtra o ruído da forma de onda, extrai significa, e elimina a deriva da linha de base. A média móvel é uma técnica matemática simples usada principalmente para eliminar aberrações e revelar a tendência real em uma coleção de pontos de dados. Você pode estar familiarizado com isso com a média de dados ruidosos em um experimento de física de primeiro ano, ou de rastrear o valor de um investimento. Você pode não saber que a média móvel também é um protótipo do filtro de resposta ao impulso finito, o tipo de filtro mais comum usado na instrumentação baseada em computador. Nos casos em que uma determinada forma de onda está cheia de ruído, onde uma média precisa ser extraída de um sinal periódico, ou onde uma linha de base devagar deve ser eliminada de um sinal de freqüência mais alta, um filtro médio móvel pode ser aplicado para alcançar o desejado resultado. O algoritmo de média móvel de Advanced CODAS oferece esse tipo de desempenho de filtragem de formas de onda. O CODAS avançado é um pacote de software de análise que opera em arquivos de dados de forma de onda existentes criados pela WinDaq de primeira geração ou pacotes de aquisição de dados WinDaq de segunda geração. Além do algoritmo da média móvel, o CODAS Avançado também inclui um utilitário do gerador de relatórios e rotinas de software para a integração de formas de onda, a diferenciação, a captação de picos e do vale, a rectificação e as operações aritméticas. Teoria do Filtro Médio em Mudança O algoritmo de média móvel móvel da DATAQ Instruments permite uma grande flexibilidade nas aplicações de filtragem de formas de onda. Ele pode ser usado como um filtro passa-baixa para atenuar o ruído inerente em muitos tipos de formas de onda, ou como um filtro passa-alto para eliminar uma linha de base de derivação a partir de um sinal de freqüência mais alta. O procedimento usado pelo algoritmo para determinar a quantidade de filtragem envolve o uso de um fator de suavização. Este fator de suavização, controlado por você através do software, pode ser aumentado ou diminuído para especificar o número de pontos de dados de formas de onda reais ou amostras que a média móvel abrangerá. Qualquer forma de onda periódica pode ser pensada como uma string longa ou coleção de pontos de dados. O algoritmo realiza uma média móvel tirando dois ou mais desses pontos de dados da forma de onda adquirida, adicionando-os, dividindo sua soma pelo número total de pontos de dados adicionados, substituindo o primeiro ponto de dados da forma de onda pela média calculada, e Repetindo os passos com o segundo, terceiro e assim por diante os pontos de dados até o final do dado ser alcançado. O resultado é uma segunda forma de onda gerada que consiste na média de dados e com o mesmo número de pontos que a forma de onda original. Figura 1 8212 Qualquer forma de onda periódica pode ser pensada como uma string longa ou coleção de pontos de dados. Na ilustração acima, os pontos de dados de forma de onda consecutivos são representados por quotyot para ilustrar como a média móvel é calculada. Neste caso, foi aplicado um fator de suavização de três, o que significa que três pontos consecutivos de dados da forma de onda original são adicionados, a sua soma dividida por três, e esse quociente é traçado como o primeiro ponto de dados de uma forma de onda gerada. O processo se repete com o segundo, terceiro e assim por diante pontos de dados da forma de onda original até o final do dado ser alcançado. Uma técnica especial de quotfeatherchot significa os pontos de início e de data final da forma de onda original para garantir que a forma de onda gerada contenha o mesmo número de pontos de dados que o original. A Figura 1 ilustra como o algoritmo da média móvel é aplicado aos pontos de dados da forma de onda (que são representados por y). A ilustração possui um fator de suavização de 3, o que significa que o valor médio (representado por a) será calculado em 3 valores de dados de forma de onda consecutivos. Observe a sobreposição que existe nos cálculos da média móvel. É esta técnica de sobreposição, juntamente com um tratamento especial de início e final que gera o mesmo número de pontos de dados na forma de onda média que existe no original. A forma como o algoritmo calcula uma média móvel merece um olhar mais atento e pode ser ilustrada com um exemplo. Digamos que temos uma dieta há duas semanas e queremos calcular nosso peso médio nos últimos 7 dias. Nós sumaríamos nosso peso no dia 7 com nosso peso nos dias 8, 9, 10, 11, 12 e 13 e depois multiplicaremos por 17. Para formalizar o processo, isso pode ser expresso como: a (7) 17 (y ( 7) y (8) y (9). Y (13)) Esta equação pode ser generalizada adicionalmente. A média móvel de uma forma de onda pode ser calculada por: Onde: um valor médio n posição do ponto de dados s fator de suavização y valor do ponto de dados real Figura 2 8212 A forma de onda de saída da célula de carga mostrada original e não filtrada no canal superior e como um ponto de 11 pontos Forma de onda média movida no canal inferior. O ruído que aparece na forma de onda original foi devido às intensas vibrações criadas pela imprensa durante a operação de embalagem. A chave para essa flexibilidade de algoritmos é a sua ampla gama de fatores de suavização selecionáveis ​​(de 2 a 1.000). O fator de suavização determina quantos pontos de dados reais ou amostras serão calculados de forma média. Especificar qualquer fator de suavização positivo simula um filtro passa-baixa enquanto especifica um fator de suavização negativo simula um filtro de passagem alta. Dado o valor absoluto do fator de suavização, os valores mais altos aplicam maiores restrições de suavização na forma de onda resultante e, inversamente, os valores mais baixos aplicam menos alisamento. Com a aplicação do fator de suavização apropriado, o algoritmo também pode ser usado para extrair o valor médio de uma dada forma de onda periódica. Um fator de suavização positivo mais alto é tipicamente aplicado para gerar valores de forma de onda média. Aplicando o algoritmo de média móvel Uma característica saliente do algoritmo de média móvel é que ele pode ser aplicado muitas vezes na mesma forma de onda, se necessário para obter o resultado de filtragem desejado. A filtragem de formas de onda é um exercício muito subjetivo. O que pode ser uma forma de onda devidamente filtrada para um usuário pode ser inaceitavelmente ruidoso para outro. Só você pode avaliar se o número de pontos médios selecionados foi muito alto, muito baixo ou simplesmente correto. A flexibilidade do algoritmo permite que você ajuste o fator de suavização e faça outro passar pelo algoritmo quando resultados satisfatórios não são alcançados com a tentativa inicial. A aplicação e as capacidades do algoritmo da média móvel podem ser ilustradas melhor pelos seguintes exemplos. Figura 3 8212 A forma de onda ECG mostrada original e não filtrada no canal superior e como uma forma de onda em média móvel de 97 pontos no canal inferior. Observe a ausência de deriva basal no canal inferior. Ambas as formas de onda são mostradas em uma condição comprimida para apresentação. Uma aplicação de redução de ruído Nos casos em que uma determinada forma de onda está cheia de ruído, o filtro médio móvel pode ser aplicado para suprimir o ruído e produzir uma imagem mais clara da forma de onda. Por exemplo, um cliente CODAS avançado estava usando uma imprensa e uma célula de carga em uma operação de empacotamento. Seu produto deveria ser comprimido para um nível predeterminado (monitorado pela célula de carga) para reduzir o tamanho da embalagem necessária para conter o produto. Por razões de controle de qualidade, eles decidiram monitorar a operação da imprensa com instrumentação. Ocorreu um problema inesperado quando começaram a ver a saída de células de carga em tempo real. Uma vez que a máquina de impressão vibrou consideravelmente enquanto estava em operação, a forma de onda de saída das células de carga era difícil de discernir porque continha uma grande quantidade de ruído devido à vibração, conforme mostrado no canal superior da Figura 2. Este ruído foi eliminado ao gerar um canal em média móvel de 11 pontos como mostrado no canal inferior da Figura 2. O resultado foi uma imagem muito mais clara da saída das células de carga. Uma aplicação na eliminação da deriva da linha de base Nos casos em que uma linha de base devagar deve ser removida de um sinal de freqüência mais alta, o filtro de média móvel pode ser aplicado para eliminar a linha de base da derivação. Por exemplo, uma forma de onda ECG tipicamente exibe algum grau de andar de linha base como pode ser visto no canal superior da Figura 3. Esta deriva de linha de base pode ser eliminada sem alterar ou perturbar as características da forma de onda como mostrado no canal inferior da Figura 3. Isto é conseguido aplicando um fator de alívio de valor negativo apropriado durante o cálculo da média móvel. O fator de suavização apropriado é determinado dividindo um período de forma de onda (em segundos) pelo intervalo de amostra de canais. O intervalo de amostra de canais é simplesmente o recíproco da taxa de amostragem dos canais e é convenientemente exibido no menu de utilidade média móvel. O período da forma de onda é facilmente determinado a partir da tela de exibição posicionando o cursor em um ponto conveniente na forma de onda, definindo um marcador de tempo e, em seguida, movendo o cursor um ciclo completo para longe do marcador de tempo exibido. A diferença horária entre cursor e marcador de tempo é um período de forma de onda e é exibida na parte inferior da tela em segundos. No nosso exemplo de ECG, a forma de onda possuía um intervalo de amostra de canal de 0,004 segundos (obtido a partir do menu de utilidade média móvel) e um período de forma de onda foi medido para span .388 segundos. Dividir o período da forma de onda pelo intervalo de amostra dos canais nos deu um fator de suavização de 97. Como é a deriva da linha de base que estamos interessados ​​em eliminar, aplicamos um fator de suavização negativo (-97) ao algoritmo da média móvel. Isso, de fato, subtraiu o resultado médio móvel do sinal da forma de onda original, que eliminou a deriva da linha de base sem alterar a informação da forma de onda. Outros Problemas Médicos em Movimento de Formas de Onda Qualquer que seja a aplicação, a razão universal para aplicar um filtro de média móvel é superar quotly as aberrações altas e baixas e revelar um valor de forma de onda intermediária mais representativo. Ao fazer isso, o software não deve comprometer outros recursos da forma de onda original no processo de geração de uma forma de onda em média móvel. Por exemplo, o software deve ajustar automaticamente as informações de calibração associadas ao arquivo de dados original, de modo que a forma de onda em média móvel esteja nas unidades de engenharia apropriadas quando geradas. Todas as leituras nos números foram realizadas usando o software WinDaq Data Acquisition